Die Wurzelfunktion f(x) = √x gehört zu den ersten Funktionen, deren Graph nicht aus Geraden oder Parabeln besteht. Sie zeigt, wie der Definitionsbereich eine Funktion beschränken kann, und sie ist ein gutes Beispiel dafür, wie Verschiebungen und Streckungen den Graphen verändern. In diesem Artikel gehen wir die wichtigsten Eigenschaften Schritt für Schritt durch.
Die Grundfunktion
Die Quadratwurzel ist nur für nichtnegative Zahlen im Reellen definiert. Der Definitionsbereich von f(x) = √x ist also x ≥ 0, und die Werte sind ebenfalls nichtnegativ. Der Graph beginnt im Ursprung (0, 0) und steigt nach rechts an, zunächst steil und dann immer flacher. Wichtige Punkte sind (1, 1), (4, 2) und (9, 3).
Warum der Graph wie eine halbe Parabel aussieht
Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion von y = x² für x ≥ 0. Spiegelt man den rechten Ast der Normalparabel an der Winkelhalbierenden y = x, erhält man genau den Graphen der Wurzelfunktion. Das erklärt auch die liegende Form der Kurve.
Verschiebung in y-Richtung
Bei f(x) = √x + c wird der Graph um c Einheiten nach oben (c > 0) oder unten (c < 0) verschoben. Der Startpunkt liegt dann bei (0, c). Der Definitionsbereich bleibt x ≥ 0.
Verschiebung in x-Richtung
Bei f(x) = √(x − a) wird der Graph um a Einheiten nach rechts verschoben. Der Definitionsbereich ist jetzt x ≥ a, denn der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ werden. Bei f(x) = √(x + 3) beginnt der Graph bei (−3, 0).
Streckung und Spiegelung
Ein Faktor vor der Wurzel, wie in f(x) = 2√x, streckt den Graphen in y-Richtung. Bei einem negativen Faktor, etwa f(x) = −√x, wird er an der x-Achse gespiegelt, sodass der Graph nach unten verläuft. Ein Minuszeichen unter der Wurzel, f(x) = √(−x), spiegelt den Graphen an der y-Achse, und der Definitionsbereich wird x ≤ 0.
Ein vollständiges Beispiel
Gegeben sei f(x) = 2√(x − 1) − 3. Der Definitionsbereich ist x ≥ 1. Der Startpunkt liegt bei (1, −3). Weitere Punkte: für x = 2 ist f = 2·1 − 3 = −1, für x = 5 ist f = 2·2 − 3 = 1, für x = 10 ist f = 2·3 − 3 = 3. Die Nullstelle erhält man aus 2√(x − 1) = 3, also √(x − 1) = 1,5 und x = 3,25.
Den Definitionsbereich bestimmen
Setze den Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich null und löse die Ungleichung. Bei f(x) = √(6 − 2x) gilt 6 − 2x ≥ 0, also x ≤ 3. Der Graph existiert nur links von x = 3.
Häufige Fehler
- Den Definitionsbereich zu vergessen und Punkte links vom Startpunkt einzuzeichnen.
- Die Verschiebung in x-Richtung mit falschem Vorzeichen anzugeben, etwa √(x + 3) nach rechts statt nach links zu verschieben.
- Die Wurzel aus einer Summe wie √(x + 4) mit √x + 2 zu verwechseln.
- Die Kurve als Gerade zu zeichnen.
Anwendungen
Wurzelfunktionen beschreiben zum Beispiel die Fallzeit eines Körpers in Abhängigkeit von der Höhe, die Geschwindigkeit von Wellen oder die Seitenlänge eines Quadrats bei gegebener Fläche. Überall dort, wo eine Größe mit dem Quadrat einer anderen zusammenhängt, tritt die Wurzel als Umkehrung auf.
Den Graphen kontrollieren
Nach dem Zeichnen per Hand lohnt sich ein Vergleich mit dem Bildschirm. Gib die Funktion in einen Graphenrechner ein und prüfe den Startpunkt, den Definitionsbereich und einige Punkte. Weichen die Ergebnisse ab, überprüfe zuerst die Verschiebungen.
Übungsaufgaben
Skizziere f(x) = √(x + 2), g(x) = −√x + 1 und h(x) = 3√(x − 4). Gib jeweils den Definitionsbereich und den Startpunkt an. Die Startpunkte sind (−2, 0), (0, 1) und (4, 0).
Zusammenfassung
Die Wurzelfunktion beginnt an einem Startpunkt, dessen Lage durch die Verschiebungen bestimmt wird, und der Definitionsbereich folgt aus dem Ausdruck unter der Wurzel. Mit diesen Regeln lässt sich jeder Graph dieser Familie schnell skizzieren.