Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales se enseña casi siempre con sustitución o reducción, pero existe una tercera vía que ayuda mucho a entender lo que ocurre: dibujar las dos rectas y ver dónde se cortan. El gráfico no solo da la respuesta, sino que explica por qué algunos sistemas tienen una solución, otros ninguna y otros infinitas. Este artículo recorre el método paso a paso.
Qué representa cada ecuación
Una ecuación lineal de dos variables, como y = 2x + 1, describe una recta. Cada punto de la recta es un par (x, y) que cumple la ecuación. Un sistema de dos ecuaciones pide los pares que cumplen ambas a la vez, es decir, los puntos que pertenecen a las dos rectas. Si las rectas se cortan, el punto de corte es la solución.
Paso 1: despejar y
Escribe ambas ecuaciones en la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen. Por ejemplo, el sistema
x + y = 5 2x − y = 1
se transforma en y = −x + 5 e y = 2x − 1.
Paso 2: dibujar la primera recta
Para y = −x + 5, la ordenada en el origen es 5 y la pendiente es −1. Marca el punto (0, 5) y baja una unidad por cada unidad que avances a la derecha: (1, 4), (2, 3), (3, 2). Une los puntos.
Paso 3: dibujar la segunda recta
Para y = 2x − 1, la ordenada en el origen es −1 y la pendiente es 2. Marca (0, −1) y sube dos unidades por cada una que avances: (1, 1), (2, 3), (3, 5). Une los puntos.
Paso 4: leer el punto de corte
Las dos rectas pasan por (2, 3). Esa es la solución: x = 2 e y = 3. Comprueba en las dos ecuaciones originales: 2 + 3 = 5 y 2·2 − 3 = 1. Ambas se cumplen.
Tres casos posibles
- Las rectas se cortan en un punto: el sistema tiene una única solución. Las pendientes son distintas.
- Las rectas son paralelas: no hay solución. Las pendientes son iguales, pero las ordenadas en el origen son distintas.
- Las rectas coinciden: hay infinitas soluciones. Las dos ecuaciones describen la misma recta.
Un ejemplo con paralelas
En y = 3x + 2 e y = 3x − 4 las pendientes son iguales y las rectas no se cruzan jamás. Si intentas resolver por sustitución, llegarás a una igualdad falsa, como 2 = −4, y eso confirma que el sistema no tiene solución.
Un ejemplo de la vida real
Una tarifa de teléfono A cobra 10 euros fijos más 0,05 euros por minuto, y una tarifa B cobra 4 euros fijos más 0,11 euros por minuto. Las ecuaciones son C = 10 + 0,05t y C = 4 + 0,11t. Igualando, 6 = 0,06t, así que t = 100 minutos. Hasta 100 minutos conviene la tarifa B, y a partir de ahí la A. En un gráfico, el punto de corte marca el cambio de conveniencia.
Errores frecuentes
- Elegir una escala que hace difícil distinguir el punto de corte.
- Equivocarse de signo al despejar y.
- Confundir la pendiente con la ordenada en el origen.
- Aceptar una solución leída del gráfico sin comprobarla en las ecuaciones.
Cuándo el gráfico es aproximado
Si la solución no es un número entero, el punto de corte puede caer entre las marcas de la cuadrícula. El gráfico ofrece entonces una estimación, y el álgebra da el valor exacto. Usar ambos métodos es una buena costumbre: el gráfico detecta errores groseros y el álgebra da la precisión.
Cómo comprobar tu dibujo
Cuando termines, puedes introducir las dos funciones en una graficadora en línea y comparar el punto de corte con el tuyo. Si no coinciden, revisa primero la pendiente y la ordenada de cada recta.
Ejercicios propuestos
Resuelve gráficamente: y = x + 1 con y = −x + 5; y = 2x con y = x + 3; y = 4 − x con y = 2x − 2. Las soluciones son (2, 3), (3, 6) y (2, 2).
Resumen
Despeja y, dibuja cada recta con su pendiente y su ordenada, lee el punto de corte y compruébalo. Con este método se ve con claridad por qué un sistema puede tener una, ninguna o infinitas soluciones.