La fonction du second degré est l'une des premières fonctions non affines que l'on rencontre au lycée. Son graphique, la parabole, apparaît partout : trajectoire d'un ballon, forme d'un pont suspendu, antenne parabolique. Savoir lire une parabole, c'est-à-dire retrouver son sommet, ses racines et le sens de son ouverture, permet de résoudre beaucoup de problèmes sans calcul lourd.
La forme générale
Une fonction du second degré s'écrit :
f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
Chaque coefficient a un rôle précis :
- a commande l'ouverture. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (elle a un minimum). Si a < 0, elle est tournée vers le bas (elle a un maximum). Plus |a| est grand, plus la parabole est étroite.
- c est l'ordonnée à l'origine : la courbe coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; c).
- b influence la position horizontale du sommet, en lien avec a.
Le sommet
Le sommet est le point le plus bas (ou le plus haut) de la parabole. Son abscisse vaut :
x_S = −b / (2a)
On calcule ensuite son ordonnée en remplaçant x par cette valeur : yS = f(xS).
Exemple : f(x) = 2x² − 8x + 6.
- xS = −(−8) / (2 × 2) = 8 / 4 = 2
- yS = 2 × 2² − 8 × 2 + 6 = 8 − 16 + 6 = −2
Le sommet est donc S(2 ; −2). Comme a = 2 > 0, c'est un minimum.
La forme canonique
On peut aussi écrire la fonction sous la forme canonique :
f(x) = a(x − α)² + β
où (α ; β) est le sommet. Pour notre exemple : f(x) = 2(x − 2)² − 2. Cette forme montre immédiatement le sommet et permet de décrire le graphique comme une transformation de la parabole y = x² : décalage de 2 unités vers la droite, de 2 unités vers le bas, et étirement vertical de facteur 2.
Les racines et le discriminant
Les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses, c'est-à-dire les solutions de ax² + bx + c = 0. On utilise le discriminant :
Δ = b² − 4ac
- Si Δ > 0 : deux racines distinctes, x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a). La parabole coupe l'axe en deux points.
- Si Δ = 0 : une racine double, x = −b / (2a). La parabole touche l'axe en son sommet.
- Si Δ < 0 : aucune racine réelle. La parabole ne rencontre pas l'axe des abscisses.
Dans l'exemple : Δ = (−8)² − 4 × 2 × 6 = 64 − 48 = 16, donc √Δ = 4.
- x₁ = (8 − 4) / 4 = 1
- x₂ = (8 + 4) / 4 = 3
La parabole coupe l'axe des abscisses en (1 ; 0) et (3 ; 0). On remarque que le sommet a pour abscisse 2, exactement au milieu de 1 et 3 : c'est l'axe de symétrie de la courbe.
Tracer la parabole pas à pas
- Déterminer le sens de l'ouverture avec le signe de a.
- Placer le sommet avec xS = −b / (2a).
- Placer l'ordonnée à l'origine (0 ; c). Ici (0 ; 6).
- Chercher les racines si Δ ≥ 0.
- Utiliser la symétrie : le point symétrique de (0 ; 6) par rapport à x = 2 est (4 ; 6).
- Relier les points par une courbe lisse, sans angle.
Le signe de la fonction
Le graphique permet de lire le signe de f(x) sans calcul :
- Pour a > 0 et Δ > 0, la fonction est négative entre les racines et positive à l'extérieur.
- Pour a < 0 et Δ > 0, c'est l'inverse : positive entre les racines et négative à l'extérieur.
Dans l'exemple, f(x) < 0 pour 1 < x < 3, ce qui se voit sur la courbe qui passe sous l'axe des abscisses entre ces deux points.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de b dans −b / (2a) : un b négatif donne un sommet à droite.
- Confondre racines et sommet : les racines sont sur l'axe des abscisses.
- Tracer des segments au lieu d'une courbe arrondie.
Vérifier avec un traceur
Après avoir tracé la courbe à la main, il est utile de la comparer avec un tracé numérique. Sur graphing-calculator.org, on peut saisir y = 2x^2 - 8x + 6, zoomer autour du sommet et des racines, puis modifier a, b et c pour voir comment la parabole se déplace. Cette manipulation aide à comprendre l'effet de chaque coefficient bien mieux qu'un simple tableau de valeurs.
Résumé
Une fonction du second degré est décrite par a, b et c. Le signe de a donne l'ouverture, xS = −b / (2a) donne le sommet, le discriminant Δ donne le nombre de racines, et la symétrie permet de tracer la courbe rapidement. Avec ces outils, une parabole n'a plus de secret.